Resumen: Recientemente, los métodos de aprendizaje automático han ganado una tracción significativa en la computación científica, particularmente para resolver ecuaciones diferenciales parciales (PDE). Sin embargo, los métodos basados en redes neuronales profundas (DNN) a menudo carecen de garantías de convergencia y eficiencia computacional en comparación con los esquemas numéricos tradicionales. Este trabajo introduce Deepoly, un marco novedoso que transforma el paradigma de la solución de la optimización pura de parámetros no convexos a un enfoque de dos etapas: empleando primero un DNN para capturar características globales complejas, seguido de una optimización de espacio lineal con características combinadas de DNN (SCOper) y funciones de base polinomial (SNIPER). Esta combinación estratégica aprovecha las fortalezas complementarias de ambos métodos: los DNN se sobresalen en la aproximación de características globales complejas (es decir, características de alto gradiente) y estabilizar la aproximación polinomial, mientras que las bases polinomiales proporcionan correcciones locales de alta precisión con garantías de convergencia. El análisis teórico y los experimentos numéricos demuestran que este enfoque mejora significativamente la precisión de alto orden y la eficiencia en diversos tipos de problemas mientras se mantiene las propiedades libres de malla y sin esquemas. Este documento también sirve como una exposición teórica para el proyecto de código abierto Deepoly.
Publicado Originalme en rss.arxiv.org El 5 de junio de 2025.
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